Njegov oče se je leta 1883 v Ljutomeru rodil znanemu politiku in posestniku, govorcu na prvem slovenskem taboru v Ljutomeru, Ivanu Kukovcu. Robertova mama je bila leta 1883 v Hersonu ob Črnem morju (takrat carska Rusija) rojena Klara iz premožne judovske družine Doktor. Starša sta se spoznala in poročila med študijem v Švici, kjer je on študiral gradbeništvo, ona pa medicino. V Zürichu se jima je rodil prvi sin Vlado. Robertova mati je pozneje postala prva zdravnica v Trstu, po prvi svetovni vojni pa še prva zdravnica v Mariboru.
Kmalu po Robertovem rojstvu se je družina preselila v Trst, kjer je njegova mati odpra zasebno ordinacijo za ženske in otroške bolezni.
Zaradi izbruha prve svetovne vojne in posebej zaradi razmer, ki so nastale z odprtjem italijanske fronte med Italijo in Avstro-Ogrsko, so bili Kukovčevi leta 1915 prisiljeni pustiti vse v Trstu in pobegniti v Ljutomer, kjer sta ostala otroka pri svoji babici.
Po koncu prve svetovne vojne se je družina Kukovec naselila v Mariboru. Robert je obiskoval mariborsko klasično gimnazijo, iz katere pa je bil v zadnjem letniku izključen zaradi disciplinskega prestopka. Zadnjih nekaj mesecev gimnazije in maturo je zato opravil na ljubljanski klasični gimnaziji.
Robert je bil zelo navdušen športnik, posebej smučar in planinec, pa tudi tenis je igral. Leta 1930 se je udeležil celo zimskih iger akademikov v Davosu. Kot prvi Jugosloven je prispel Robert Kukovec.
Robert je študiral medicino v Insbrucku in na Dunaju, kjer je leta 1934 tudi diplomiral. Sprva je delal v Ljubljani in Mariboru, nato kot volonter na patološkem instituti v Zagrebu. Specializacijo za kirurga je začel v Zagrebu in jo kot štipendist francoske vlade nadaljeval v Strasbourgu in Parizu. Leta 1940 je v Parizu opravil specialistični izpit. V začetku leta 1941 je postal asistent kirurške klinike v Ljubljani.
Ob začetku druge svetovne vojne se je Robert kmalu vključil v Osvobodilno fronto in je na terenu operiral ranjene partizane. Leta 1943 je nato še sam odšel v partizane in bil eden prvih kirurgov na Dolenskem, pozneje je delal v partizanskih bolnišnicah v Liki in kot korpusni kirurg pri 6. korpusu narodnoosvobodilne vojske in partizanskih odredov Jugoslavije v Slavoniji.
Vendar se je želel vrniti v Slovenijo, zato je septembra 1944 prišel na osvobojeno ozemlje v Gornjo Savinjsko dolino. Postal je vodja kirurške ekipe 4. operativne cone, ki je delala na Ljubnem v Kolenčevi hiši. Bolnišnico v Kolenčevi hiši so nekateri zato imenovali kar »Kukovčeva klinika«.
Robertovo delo na Ljubnem je bilo vsestransko. Zdravil je ranjence in domačine. Pripravljal je predavanja za sanitetni tečaj, ki je bil pod njegovim vodstvom pri kirurški ekipi na Ljubnem. Na tečaju so usposabljali partizane za bolničarje in sanitetne referente, za instrumentarje in anesteziste.
Na Ljubnem je Robert pripravljal načrte za različno kirurško opremo. V mehanični delavnici so po njegovih idejah naredili sterilizator na paro, v mizarski delavnic pa so po njegovih načrtih izdelali operacijske mize, Braunove in obdukcijske opornice.
Po nemški ofenzivi na osvobojeno ozemlje so Roberta poslali v bolnišnico Celje oz. Mrzle vode, ki je bila pod Travnikom na Trački planini.
6. Robert med operacijo v partizanski bolnišnici
Okoliščine Robertove smrti še do danes niso bile povsem pojasnjene. Sodeč po pričevanju Lizike Podlesnik, sestre Robertovega kurirja Juvana, so ga v spletu nesrečnih okoliščin sredi aprila 1945 pri bližnjem kmetu ulovili Nemci in ga čez nekaj dni tudi umorili.
Nekaj let pozneje sta njegova starša dala prenesti njegove posmrtne ostanke v Maribor na pokopališče Pobrežje.